[수학이야기] 산술 기하 부등식의 증명
산술기하 부등식의 증명을 한번 해봅시다.
$a \gt 0$ , $b \gt 0$ 일 때
$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0$ 이겠죠?
모든 실수의 제곱은 0 보다 크잖아요.
a와 b가 0 보다 크니 $\sqrt{a}$와 $\sqrt{b}$는 실수가 되고
실수의 제곱이라서 0보다 큽니다.
그럼 볼게요 저 위의 식을 정리해보면
$\sqrt{a}^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}+\sqrt{b}^2 \ge 0$
$\sqrt{a}^2+\sqrt{b}^2 \ge 2\sqrt{a}\sqrt{b} $
$a+b \ge 2\sqrt{ab} $
이렇게 되겠죠?
이 꼴이 산술평균 $\frac{a+b}{2}$
기하평균 $\sqrt{ab}$
을 포함하고 있어서 우리는 산술 기하 부등식이라고 부릅니다.
외워둬야 될 정리는 마지막에 있는 저 표현이에요.
$a,b$가 모두 양수일때 아래 부등식이 성립한다. $a+b \ge 2\sqrt{ab} $ (단 등호는 $a=b$ 일때 성립한다.) |
산술 기하 평균을 문제에서 활용할때는
둘다 양수이고 합이 일정할 때 곱의 최댓값을 찾는 형식의 문제~!
ex)
또는,
둘다 양수이고 곱이 같을때 합의 최솟값을 찾는 문제~!
ex)
또는 최댓값이 되는 a,b를 찾는 문제 ( 같을 조건을 이용함. )
ex)
a+2b=6 일때, ab가 최댓값을 가지는 a의 값은?
sol) a=2b 일때 최댓값을 가지므로 a=2b
a+2b=6
a+a=6
2a=6
a=3
그리고 그것들을 이용한 활용 문제들이 나오겠죠?
아래 문제집을 클릭해서 기초문제를 풀면서 해당 유형에 익숙해져봅시다~!
